一道2020年高考数学真题，数列题，很多学生题都没看懂

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大家好！本文和大家分享一道2020年高考数学真题。这道题是2020年新高考一卷数学的第18题，也就是第2道解答题。本题是一道数列的创新题，考查了等比数列的概念、等比数列的通项公式、数列求和等知识。很多学生连第二问的题意都没有读懂。

先看第一小问：求数列{an}的通项公式。

根据题意，数列{an}是等比数列，要求等比数列通项公式，就需要求出首项a1和公比q。

由于a2+a4=20，a3=8，所以a1q+a1q^3=20，a1q^2=8，这样就得到了一个关于a1和q的方程组。将两个方程一比，消去a1，得到关于q的方程，从而解出q的值。需要注意的是，q＞1，所以小于1的值需要舍去。然后再求出首项a1，从而求出其通项公式。

另外，我们还可以利用an=amq^(n-m)这个形式来处理。

不管哪种处理方法，解题思路其实都是一样的，也就是先算出a1和q，再求通项公式。

再看第二小问：求数列{bn}的前100项和S100。

这一问的难点是读懂数列{bn}的定义，很多学生没有读懂定义，从而导致不知从何下手。

我们先来看数列{bn}的定义。bm表示数列{an}在(0,m]中的项的个数，也就是说b1就是{an}在(0,1]中的个数，而an=2^n，那么显然an在(0,1]中没有项，即b1=0。同理，b2表示{an}在(0,2]中的个数，此时a1=2刚好满足，所以b2=1；b3表示{an}在(0,3]中的个数，满足条件的an只有a1=2，所以b3=1；b4表示{an}在(0,4]中的个数求，而满足条件的an有a1=2和a2=4两个，所以b4=2。

以此类推，由于an=2^n是2的正整数指数幂，所以当m=2^k时，bm=k，而当2^(k-1)≤m＜2^k时，bm=k-1。也就是说，在大于等于2^(k-1)到小于2^k这2^k-2^(k-1)项，bm的值相等，且都等于k-1。

所以当k=1时，有b1=0；

当k=2时，b2=b3=1，共2个1；

当k=3时，b4=b5=...=b7=2，共4个2；

当k=4时，b8=b9=...=b15=3，共8个3；

当k=5时，b16=b17=...=b31=4，共16个4；

当k=6时，b32=b33=...=b63=5，共32个5；

当k=7时，b64=b65=...=b100=6，共37个6。

然后，将这些数求和即得到S100的值。

第二小问如果把数列{bn}的读懂了，做起来的难度实际上并不大，你觉得呢？