两类基本分式不定积分公式的推导

#头条创作挑战赛#

分式不定积分可以通过部分分式分解成两类基本分式的不定积分来解决。分式部分分式分解的内容在《老黄学高数》系列学习视频第291讲中有详细的介绍。这里要介绍的是两类基本分式的不定积分公式的推导。

第一类基本分式的形式是：1/(x+a)^k，a，k是常数，默认x不等于-a. 即分母是一个一次多项式的幂，分子是1，或一个常数。

第二类基本分式的形式是：(Bx+M)/(x^2+px+q)^k，B, M, p, q, k都是常数，默认分母二次多项式的判别式p^2-4q<0. 即分母是一个二次多项式的幂，分子是一次多项式。

对第一类基本分式的不定积分公式，这里采用证明的方式，通过对原函数求导来检验：

证明：当k=1时，∫dx/(x+a)^k =ln|x+a|+C; 当k≠1时，∫dx/(x+a)^k=1/((1-k)(x+a)^(k-1))+C.

证：当x>-a时, (ln|x+a|)’=(ln(x+a))’=1/(x+a),

当x<-a时, (ln|x+a|)’=(ln(-x-a))’=(-1)/(-x-a)=1/(x+a),

∴∫dx/(x-a)=ln|x+a|+C.

当k≠1时，(1/((1-k)(x+a)^(k-1) ))’=1/(x+a)^k ,

∴∫dx/(x+a)^k =1/((1-k)(x+a)^(k-1) )+C. 得证！

下面通过一道例题加深理解，并巩固公式的掌握：

例1：求∫(x^5-15x^3-10x^2+61x+72)/(x^2-6x+9) dx.

对第二类基本分式，则通过探究求解的方法，来得到它的公式。

探究：求∫(Bx+M)/(x^2+px+q)^k dx.

解：x^2+px+q=(x+p/2)^2+(√(4q-p^2 )/2)^2=r^2+t^2.

其中r=x+p/2, t=√(4q-p^2 )/2【这是为了构造反正切函数的导数】

则Bx+M=B(x+p/2)-p/2B+M=Br+N; dx=dr,

原积分=∫(Br+N)/(r^2+t^2)^k dr=B∫r/(r^2+t^2)^k dr+N∫dr/(r^2+t^2)^k

=B/2∫dr^2/(r^2+t^2)^k +N/t^(2k-1) ∫(d(r/t))/((r/t)^2+1)^k ，

当k=1时, 原积分=B/2 *ln(r^2+t^2)+N/t *arctan(r/t) +C

=B/2* ln(x^2+px+q)+(2M-pB)/√(4q-p^2 ) *arctan(2x+p)/√(4q-p^2 )+C. 【这是公式的一个特殊形式】

当k≠1时, 记r/t=tanu, 则【换元法的运用，先求部分不定积分】

∫(d(r/t))/((r/t)^2+1)^k =∫((secu)^2du)/(secu)^2k=∫(cosu)^(2k-2)du【余弦幂的不定积分公式，在《老黄学高数》系列学习视频第265，第267和第275讲都有分析。教材没有这个公式，所以教材只能给出递推降幂公式，老黄自己推导了这个公式，所以可以得到公式的最终形式】

=(2k-3)‼u/((2k-2)‼) + (2k-3)‼tanu/((2k-2)‼) ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)‼(cosu)^(2k-2i))/(2k-2i-1)‼ +C

=(2k-3)‼/((2k-2)‼) arctan (r/t)+ (2k-3)‼r/((2k-2)‼t) ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)‼t^(2k-2i))/((2k-2i-1)‼(r^2+t^2)^(k-i) ) +C.

原积分=B/(2(1-k)(r^2+t^2)^(k-1) )+((2M-pB)(2k-3)‼)/(2t^(2k-1) (2k-2)‼) (arctan (r/t) + r/t ∑(i=1->k-1) ((2k-2i-2)‼(r^2+t^2)(i-k))/((2k-2i-1)‼t^(2i-2k) ))+C

你肯定看不清楚这个公式，下面的图片帮你忙。

下面的例2是k=1时的情形：

例2：求∫(3x+2)/(x^2+2x+3) dx.

例3则是k≠1时的情形：

例3：求∫(3x+2)/(x^2+2x+3)^3 dx.

两组公式整理如下，其中还有一个特殊形式的公式：

当老黄推导出余弦幂的不定积分公式的时候，很多人问老黄，那到底有什么用。这里就用它来推导第二类基本分式的积分公式了。那么是否还有人会问老黄，推导这两类基本分式积分公式有什么用呢？它们可以用来解决很多普通的分式不定积分啊。